1. Máy tính bỏ túi Việt Nam
  2. Khu vực toán Casio sơ cấp (THCS - THPT)
  3. Hàm số đồ thi, Các chuyên đề khác

Chứng minh 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^60 chia hết cho 3, cho 7, cho 15


0

4

1. Cho A = 2 + 22 + 23 + ... + 260. Chứng minh A chia hết cho 3, cho 7, cho 15.

2. Với p, q là số nguyên tố lớn hơn 5 chứng minh rằng: p4 - q4 chia hết cho 240.

 

249
4 trả lời:

1

b. Ta có p4 - q4 = (p4 - 1) - (q4 - 1); 240 = 8.2.3.5

- Chứng minh p4 - 1 chia hết cho 240:

Do p>5 nên p là số lẻ

Mặt khác; p4 - 1 = (p - 1)(p + 1)(p2 + 1)

Suy ra (p-1) và (p+1) là 2 số chẵn liên tiếp nên (p - 1)(p + 1) chia hết cho 8.

Do p là số lẻ nên p2 là số lẻ suy ra p2 + 1 chia hết cho 2.

    p>5 nên p có dạng:

+ p = 3k + 1 nên p - 1 = 3k + 1 - 1 = 3k chia hết cho 3 suy ra p4 - 1 chia hết cho 3.

+ p = 3k + 2 nê p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 chia hết cho 3 suy ra p4 - 1 chia hết cho 3.

   Mặt khác, p có thể là dạng:

+ p = 5k + 1 nên p - 1 = 5k + 1 - 1 = 5k chia hết cho 5 suy ra p4 - 1 chia hết cho 5.

+ p = 5k + 2 nên p2 + 1 = (5k + 2)2 + 1 = 25k2 + 20k + 5 chia hết cho 5 suy ra p4 - 1 chia hết cho 5.

+ p = 5k + 3 nên p2 + 1 = 25k2 + 30k + 10 chia hết cho 5 suy ra p4 - 1 chia hết cho 5.

+ p = 5k + 4 nên p + 1 = 5k + 5 chia hết cho 5 suy ra p4 - 1 chia hết cho 5.

Vậy p4 - 1 chia hết cho 8.2.3.5 hay p4 - 1 chia hết cho 240.

Tương tự ta có q4 - 1 chia hết cho 240.

Vậy: (p4 - 1) - (q4 - 1) = p4 - q4 chia hết cho 240.

 

#1: ngày 23/04/2017
249

Thêm bình luận

1

Giải:

a. - Chứng minh A chia hết cho 3:

Ta có: A = (2 + 22) + (23 + 24) + ... + (259 + 260) = 2(1 + 2) + 23(1 + 2) + ... + 259(1 + 2)\

             = (1 + 2)(2 + 23 + ... + 259)

             = 3(2 + 23 + ... + 259)

Vì 3 chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3.

    - Chứng minh A chia hết cho 7:

Ta có: A = (2 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + ... + (258 + 259 + 260)

             = 2(1 + 2 + 22) + 24(1 + 2 + 22) + ... + 258(1 + 2 + 22)

             = (1 + 2 + 22)(2 + 24 + ... + 258)

             = 7(2 + 24 + ... + 258)

Vì 7 chia hết cho 7 nên A chia hết cho 7.

    - Chứng minh A chia hết cho 15:

Ta có: A = (2 + 22 + 23 + 24) + (25 + 26 + 27 + 28) + ... + (257 + 258 + 259 + 260)

             = 2(1 + 2 + 22 + 23) + 25(1 + 2 + 22 + 23) + ... + 257(1 + 2 + 22 + 23)

             = (1 + 2 + 22 + 23)(2 + 25 + ... + 257)

             = 15(2 + 25 + ... + 257)

Vì 15 chia hết cho 15 nên A chia hết cho 15.

 

#2: ngày 23/04/2017
249

Thêm bình luận

1

củng hay cảm ơn nhiều nha các bạn 

#3: ngày 24/04/2017
3

Thêm bình luận

1

Tính chất:lũy thừa bậc 4 của 1 số lẻ luôn chia 16 dư 1

suy ra p4 -q4 chia hết 16

do p,q là số nguyên tố >5 suy ra p4-q4 chia hết cho 3 

do p,q không chia hết cho 5 suy ra p2, q2 chia 5 dư 1 hoặc 4 suy ra đều chia 5 dư 1 suy ra p4 ;q4 đều chia 5 dư 1 

suy ra p4-q4 chia hết cho 5

suy ra p4-q4 chia hết cho 240

#4: ngày 23/04/2017
32

Thêm bình luận