SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ TĨNH
HÀ TĨNH NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN: TOÁN (Chung cho mọi thí sinh)
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút
(Đề thi có 01 trang, 5 câu)
Câu 1. Cho biểu thức $P=\left ( \dfrac{8}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+3} \right )\left ( \dfrac{x\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}+\sqrt{x}-10 \right )$
a. Tìm điều kiện của $x$ để biểu thức $P$ có nghĩa và rút gọn $P$.
b. Tìm các giá trị của $x$ để $P=30$.
Câu 2. Cho phương trình $3x^2+2(m-1)x-(2m+1)=0$ ($m$ là tham số).
a. Giải phương trình khi $m=-1$.
b. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $(x_1+1)(x_2+1)=x_1^2x_2+x_2^2x_1+2$.
Câu 3.
a. Giải phương trình $\sqrt{x-1}+\sqrt{4x+1}=4$.
b. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 4xy^2-2x^2y=x-2y\\ 2x^3-x-8y+3=0 \end{matrix}\right.$
Câu 4. Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB<AC$ và $AH$ vuông góc với $BC$ tại $H$. Gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $AB,AC$. Đường thẳng $DE$ cắt tia $CB$ tại $S$.
a. Chứng minh rằng $ADHE$ và $BCED$ là các tứ giác nội tiếp được trong đường tròn.
b. Đường thẳng $SA$ cắt đường tròn đường kính $AH$ tại $M$ ($M$ khác$A$). Các đường thẳng $BM$ và $AC$ cắt nhau tại $F$. Chứng minh $FA.FC+SB.SC=SF^2$.
Câu 5. Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác.
Chứng minh rằng $\dfrac{b^2+c^2-a^2}{bc}+\dfrac{c^2+a^2-b^2}{ac}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{ab}>2$
- Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu
Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh..............................................................................Số báo danh................................
Bài 3
a, ĐK $x \geq 1$
Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-1}=a\\\sqrt{4x+1}=b \end{matrix}\right.$
Ta được hệ sau : $\left\{\begin{matrix} a+b=4\\b^2-4a^2=5 \end{matrix}\right.\Rightarrow (4-a)^2-4a^2-5=0$
$\Rightarrow a=1$, do $a \geq 0$
$\Rightarrow \sqrt{x-1}=1\Leftrightarrow x=2$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$
b, Từ phương trình 1 ta được $2xy(2y-x)=x-2y\Leftrightarrow (2xy+1)(2y-x)=0$
