Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán - Tin trường THPT Hà Nội 2012 - Amsterdam

Bài tương tự:

ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN - TIN TRƯỜNG THPT HÀ NỘI - AMSTERDAM

(Thời gian làm bài: 150 phút)

Câu 1. (2 điểm)

1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n$ thì $n^{5}+5n^{3}-6n$ chia hết cho 30.

2. Cho số tự nhiên $n$ thỏa mãn $n\left ( n+1 \right )+6$ không chia hết cho 3. Chứng minh rằng $2n^{2}+n+8$ không phải là số chính phương.

Câu 2. (2 điểm)

1. Giải hệ phương trình sau $\left\{\begin{matrix} x-2y-\dfrac{2}{x}+1=0\\x^{2}-4xy+4y^{2}-\dfrac{4}{x^{2}}+1=0\\ \end{matrix}\right.$

2. Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2012$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=2xy-yz-zx$.

Câu 3. (3 điểm)

Cho đường tròn $\left ( O, R \right )$ và dây cung $BC$ cố định $\left (BC<2R \right )$. Một điểm $A$ di động trên đường tròn $\left ( O, R \right )$ sao cho tam giác $ABC$ là tam giác nhọn. Gọi $AD$ là đường cao và $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

1. Đường thẳng chứa phân giác ngoài $\angle BHC$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Chứng minh rằng tam giác $AMN$ cân.

2. Gọi $E, F$ là hình chiếu của $D$ lên $BH, CH$. Chứng minh rằng $OA$ vuông góc với $EF$.

3. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$ cắt đường phân giác trong $\angle BAC$ tại $K$. Chứng minh rằng $HK$ luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 4. (1 điểm)

Tìm các số nguyên dương $x, y, z$ thỏa mãn $(x+1)(y+z)=xyz+2$

Câu 5. (1 điểm)

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, bán kính $R=2cm$. Chứng minh rằng trong số 17 điểm $A_{1}, A_{2},..., A_{17}$ bất kì nằm trong tứ giác $ABCD$ luôn tìm được 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1 cm.

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)