1/ ta có U(k+1) =2Uk-U(k-1)+1 k>=2
=> U(k+1)-Uk=Uk-U(k-1)+1 (1)
k=n+1 thì U(n+2)-U(n+1)=U(n+1)-Un +1
tức là V(n+1) =Vn+1
=> V(n+1)-Vn=1 => (Vn ) là csc công bội là q=1; số hạng đầu là V1=U2-U1=1
Vn=a+q.n mà V1=1 ; q=1 nên a=0 => Vn=n
tức là U(k+1)-Uk=k
=>U(k+1)=Uk+k
Uk= U(k-1)+(k-1)
U3=U2+2
U2=U1+1
cộng 2 vế có
U(k+1)+Uk+....+U2=Uk+U(k-1)+....+U2+U1...
U(k+1)=U1+k(k+1)/2=1+k(k+1)/2
cho k=n-1 được Un=1+n(n-1)/2 (có thể kiểm tra lại u1 ; u2 theo công thức này)
2/a
ta có 1/Uk.U(k+1)=q/[q.Uk.U(k+1)]=[U(k+1)-Uk]/...
(lưu ý q = U(k+1)-Uk)
=[1/q]x[1/Uk-1/U(k+1)]
=>VTa= [1/q]x[1/U1-1/U2+1/U2-1/U3+...+1/U(n-1)-...
=[1/q](Un-U1)/[u1Un]=(n-1)/[U1Un] (lưu ý Un-U1=(n-1)q)
2/b ta có 1/[căn Uk+căn U(k+1)]=[căn U(k+1)-cănUk]/[U(k+1)-Uk]
{ nhân liên hợp }
= [căn U(k+1)-cănUk]/q
=>VTb= [căn U2-cănU1+cănU3-cănU2+....cănUn-cănU(n+1)...
=[CănUn-cănU1]/q =(Un-U1)/[qx(cănUn+cănU1)=(n-1)/(căn Un+cănU1)
=> U(k+1)-Uk=Uk-U(k-1)+1 (1)
k=n+1 thì U(n+2)-U(n+1)=U(n+1)-Un +1
tức là V(n+1) =Vn+1
=> V(n+1)-Vn=1 => (Vn ) là csc công bội là q=1; số hạng đầu là V1=U2-U1=1
Vn=a+q.n mà V1=1 ; q=1 nên a=0 => Vn=n
tức là U(k+1)-Uk=k
=>U(k+1)=Uk+k
Uk= U(k-1)+(k-1)
U3=U2+2
U2=U1+1
cộng 2 vế có
U(k+1)+Uk+....+U2=Uk+U(k-1)+....+U2+U1...
U(k+1)=U1+k(k+1)/2=1+k(k+1)/2
cho k=n-1 được Un=1+n(n-1)/2 (có thể kiểm tra lại u1 ; u2 theo công thức này)
2/a
ta có 1/Uk.U(k+1)=q/[q.Uk.U(k+1)]=[U(k+1)-Uk]/...
(lưu ý q = U(k+1)-Uk)
=[1/q]x[1/Uk-1/U(k+1)]
=>VTa= [1/q]x[1/U1-1/U2+1/U2-1/U3+...+1/U(n-1)-...
=[1/q](Un-U1)/[u1Un]=(n-1)/[U1Un] (lưu ý Un-U1=(n-1)q)
2/b ta có 1/[căn Uk+căn U(k+1)]=[căn U(k+1)-cănUk]/[U(k+1)-Uk]
{ nhân liên hợp }
= [căn U(k+1)-cănUk]/q
=>VTb= [căn U2-cănU1+cănU3-cănU2+....cănUn-cănU(n+1)...
=[CănUn-cănU1]/q =(Un-U1)/[qx(cănUn+cănU1)=(n-1)/(căn Un+cănU1)
đúng không ?