Sau đây tớ xin chứng minh quy tắc trên với tìm ba chữ số tận cùng:
Trường hợp 1: Khi a chia hết cho 2 và chia hết cho 5: tức a tận cùng là 0
Ta có; a1000 = .....01000 = ...... 000. (c/m dễ, ta chứng minh nó chia hết cho 1000)
Trường hợp 2: Khi a không chia hết cho 2 và chia hết cho 5: tức a tận cùng là 5
Ta có: a1000 = ....51000 = ....5125.8 = (.....58)125 = 390625125 = .....625 (Ta có số nào có 3 chữ số tận cung là 625 thì mũ bao nhiêu lên thì tận cùng vẫn là 625)
Trường hợp 3: Khi a không chia hết cho 2 và không chia hết cho 5: tức a chẵn, tận cùng khác 0.
Nhận xét: Nếu một số tự nhiên không chia hết cho 5 thì n100 1 (mod 125). Chứng minh dễ, bạn đọc tự chứng minh.
Trở lại đề bài, ta có: a100 = BS 125 + 1, mà a100 là số chẵn nên ba chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 126, 376, 626, 876.
Hiển nhiên a100 chia hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó phải chia hết cho 8. Trong bốn số đó chỉ có 376 là chia hết cho 8.
Nhờ đó ta có ba chữ số tận cùng của a100 là 376
Suy ra a1000 = (a100)10 = ......37610 = 376 (Ta có số nào có 3 chữ số tận cung là 376 thì mũ bao nhiêu lên thì tận cùng vẫn là 376)
Vậy ba chữ số tận cùng của a1000 là 376
Trường hợp 4: Khi a không chia hết cho 2 và không chia hết cho 5: tức a lẻ, tận cùng khác 5.
Nhận xét: Nếu một số tự nhiên không chia hết cho 5 thì n100 1 (mod 125). Chứng minh dễ, bạn đọc tự chứng minh. Ở đây do có thêm điều kiện n tận cùng bằng 1, 3, 7, 9 nên suy ra a4 có tận cùng bằng 1.
Suy ra a100 = (a4)25 = (10k + 1)25 = BS 1000 + (10k)2 + 25.10k + 1 = BS 125 + 1 (1)
Ta có n100 = (n50)2 là số chính phương lẻ (vì n lẻ) nên chia 8 dư 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra n100 - 1 chia hết cho 1000, tức là tận cùng bằng 001.
Suy ra: a1000 = (a100)10 = ...00110 = ....001(Ta có số nào có 3 chữ số tận cung là 001 thì mũ bao nhiêu lên thì tận cùng vẫn là 001)