1. Máy tính bỏ túi Việt Nam
  2. Hệ phương trình, bất phương trình, Max - Min
  3. Bất phương trình

Bài toán chứng minh bất đăng thức và tìm giá trị nhỏ nhất


0

2

Bài 1:

Với a,b,c >0; n ∈ N*.CMR:

$\dfrac{a^{n}}{b+c}+\dfrac{b^{n}}{a+c}+\dfrac{c^{n}}{a+b}\geq \dfrac{3}{2}\left ( \dfrac{a^{n}+b^{n}+c^{n}}{a+b+c} \right )$

 

Bài 2:

Cho $x,y,z >0$ thỏa điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\dfrac{x^5}{y^2}+\dfrac{y^5}{z^2}+\dfrac{z^5}{x^2}$

 

Bài 3:

Ch0 $a>0$ và $n$ là 1 số tự nhiên

Chứng minh rằng $a^n+\dfrac{1}{a^n}-2\geqslant n^2(a+\dfrac{1}{a}-2)$

 

 

 

5 trả lời:

1

B3

Cách khác:

Do tính đối xứng giữa a và $\dfrac{1}{a}$ nên ta có thể giả sử a ≥ 1.  đặt $\sqrt{a}$ =x ≥ 1.bdt $\Leftrightarrow$ $x^{2n}+\dfrac{1}{x^{2n}}-2 \geq n^{2}(x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}-2)\Leftrightarrow (x^{n}-\dfrac{1}{x^{n}})^{2}\geq n^{2}(x-\dfrac{1}{x})^{2} \Leftrightarrow $x^{n}-\dfrac{1}{x^{n}}\geq n(x-\dfrac{1}{x})$①.

Với x=1 thì ① đúng

Với x>1 thì ① $\Leftrightarrow x^{n-1} +x^{n-3} ...+\dfrac{1}{x^{n-3}}+\dfrac{1}{x^{n-1}}\geq n$ (đúng vì theo bđt AM-GM).

Dấu bằng xảy ra khi x=1 $\Leftrightarrow a=1$

#1: ngày 21/07/2016
196

Thêm bình luận

1

B2

Cách khác:

Sử dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

       $\dfrac{x^5}{y^2}+\dfrac{y^5}{z^2}+\dfrac{z^5}{x^2}\geqslant \dfrac{(x^3+y^3+z^3)^2}{xy^2+yz^2+zx^2}$

Sử dụng Cauchy-Schwarzt và AM-GM ta có 

       $xy^2+yz^2+zx^2\leqslant \sqrt{(x^2+y^2+z^2)(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)}\leqslant \sqrt{\dfrac{(x^2+y^2+z^2)^3}{3}}=3$

Do đó $P\geqslant \dfrac{(x^3+y^3+z^3)^2}{3}\geqslant \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^3}{9}=3$ 

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

#2: ngày 21/07/2016
196

Thêm bình luận

1

Bài 1:

 

Lời giải:

$\sum \dfrac{a^{n}}{b+c}\geq \dfrac{1}{3}(\sum a^{n})(\sum \dfrac{1}{a+b})\geq \dfrac{1}{3}(\sum a^{n})(\dfrac{9}{2(a+b+c)})=\dfrac{3}{2}(\dfrac{\sum a^{n}}{\sum a})$

#3: ngày 21/07/2016
196

Thêm bình luận

1

B3

Lời giải:

Bất đẳng thức tương đương với $(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)\geq n^2a^{n-1}$ (hiển nhiên theo AM-GM)

#4: ngày 21/07/2016
196

Thêm bình luận