1. Máy tính bỏ túi Việt Nam
  2. Hệ phương trình, bất phương trình, Max - Min
  3. Bất phương trình

Chứng minh a^2/3 + b^2 + c^2 > ab + bc + ca


0

1

Bài 1: Cho abc=1 va $a^{3}> 36. CMR :\dfrac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}> ab +bc+ca$

3 trả lời:

1
  BDT <=>a^2/3+(b+c)^2-3bc-a(b+c)>0 
<=>a^2/4+(b+c)^2-a(b+c)+a^2/12-3bc>0 
<=>(a/2-b-c)^2+a^2/12-3/a>0 
<=>(a/2-b-c)^2+(a^3-36)/12a>0 
ta co (a/2-b-c)>0 
a^3-36>0 
a>0 
=> dpcm 
TQ
#1: ngày 21/07/2016
471

Thêm bình luận

1

Cách khác:

Từ giả thiết suy ra $a>0$ và $bc>0$. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$\dfrac{a^2}{3}+(b+c)^2-3bc-a(b+c)\ge 0\\ \iff \dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{b+c}{a}\right)^2-\dfrac{b+c}{a}-\dfrac{3}{a^3}\ge 0$
Vì $a^3>36$ nên $\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{b+c}{a}\right)^2-\dfrac{b+c}{a}-\dfrac{3}{a^3}> \left(\dfrac{b+c}{a}\right)^2-\dfrac{b+c}{a}+ \dfrac{1}{4}= \left(\dfrac{b+c}{a}-\dfrac{1}{2}\right)^2 >0$
#2: ngày 20/07/2016
196

Thêm bình luận

1

Lời giải:

$VT-VP=\dfrac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}-ab-bc+2bc+\dfrac{a^{2}}{12}=(\dfrac{a}{2}-b-c)^{2}+\dfrac{a^{2}-36bc}{12}>0\Rightarrow$ đpcm

 

#3: ngày 20/07/2016
196

Thêm bình luận