Bài 1:
Cho $a,\,b,\,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=abc\left(a^2+b^2+c^2\right)$
Bài 2:
Cho các số thực $x,\,y>0$ thỏa mãn $3x+y\leq1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $S=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{\sqrt{xy}}$
Bài 3:
Cho các số thực a,b,c,x,y thỏa mãn $ax-by=\sqrt{3}$ .
Tìm GTNN của $F= a^{2}+b^{2}+x^{2}+y^{2}+ bx +ay$
Bài 4:
Cho các số thực dương $a,b,c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\dfrac{2}{a+ \sqrt{ab}+ \sqrt[3]{abc}}-\dfrac{3}{\sqrt{a+b+c}}$
Bài 5:
Cho x,y là các số không âm thoả $x^{3}+y^{3}\leq 1$
Tìm giá trị lớn nhất của $P=2\sqrt{x}+\sqrt{y}$
Bài 5:
Lời giải:
$(x^3+y^3)(\sqrt[5]{2^6}+1)^5\geqslant (2\sqrt{x}+\sqrt{y})^6$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{x}+\sqrt{y}\leqslant \sqrt[6]{(\sqrt[5]{2^6}+1)^5}$
Vậy $Max(P)= \sqrt[6]{(\sqrt[5]{2^6}+1)^5}\Leftrightarrow \dfrac{a^3}{2\sqrt[5]{2}}=b^3=\dfrac{1}{2\sqrt[5]{2}+1}$
Bài 4:
Lời giải:
$a+\sqrt{\dfrac{1}{2}a.2b}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}a.b.4c}\leq a+\dfrac{1}{4}a+b+\dfrac{1}{12}a+\dfrac{1}{3}b+\dfrac{4}{3}c=\dfrac{4}{3}(a+b+c)$
Do đó $P\geq \dfrac{3}{2(a+b+c)}-\dfrac{3}{\sqrt{a+b+c}}$...
Bài 3:
Lời giải:
Bài 2:
Lời giải:
$S\geq \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x(1-3x)}}$
$\geq \dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{1-2x}=\dfrac{2}{x(1-x)}\geq \dfrac{8}{(x+1-x)^{2}}=8$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}$
