[Bí quyết 93.17.4] Tìm chữ số tận cùng trong toán casio 30 giây

Bài tương tự:

Đây là một bí quyết tìm chữ số tận cùng trong phiên bản thứ tư của "Kinh nghiệm giải Toán trên máy tính bỏ túi II" - 93.17.4

Bài toán: Tìm 4 chữ số tận cùng của: ${A = 2^{2015}} + {3^{2016}} + {5^{2017}}$

Đối với bài này nếu áp dụng tính chất Đồng dư thức thì giải khá mất thời gian. Có một mẹo giải nhanh bài này như sau:

Ta xét 4 trường hợp:

+ ${a^{1000}} \equiv 0000\left( {\bmod 10000} \right)$ (Khi a chia hết cho 2 và chia hết cho 5: tức a tận cùng là 0)

+ ${a^{1000}} \equiv 0625\left( {\bmod 10000} \right)$ (Khi a không chia hết cho 2 và chia hết cho 5: tức a tận cùng là 5)

+ ${a^{1000}} \equiv 9376\left( {\bmod 10000} \right)$ (Khi a không chia hết cho 2 và không chia hết cho 5: tức a chẵn, tận cùng khác 0)

+ ${a^{1000}} \equiv 0001\left( {\bmod 10000} \right)$ (Khi a không chia hết cho 2 và không chia hết cho 5: tức a lẻ, tận cùng khác 5)

Một điều đặc biệt nữa là 0000, 0626, 9376, 0001 mủ bao nhiêu lên thì tận cùng vẫn là chính nó: ${0625^3} \equiv 0625\left( {\bmod 10000} \right)$

Quay lại bài toán: ${A = 2^{2015}} + {3^{2016}} + {5^{2017}} \equiv {9376.2^{15}} + {1.3^{16}} + {625.5^{17}}\left( {\bmod 10000} \right)$

Sử dụng máy tính bỏ túi casio tìm 4 chữ số tận cùng của A một cách nhanh chóng!

Áp dụng làm bài tìm 4 chữ số tận cùng của: ${2015^{{{2016}^{2017}}}}$

maytinhbotui.vn

145 • • • •

ngày 28/12/2016

Sao chép Chia sẻ Trả lời

13 trả lời:

Sau đây tớ xin chứng minh quy tắc trên với tìm ba chữ số tận cùng:

Trường hợp 1: Khi a chia hết cho 2 và chia hết cho 5: tức a tận cùng là 0
Ta có; a¹⁰⁰⁰ = .....0¹⁰⁰⁰ = ...... 000. (c/m dễ, ta chứng minh nó chia hết cho 1000)

Trường hợp 2: Khi a không chia hết cho 2 và chia hết cho 5: tức a tận cùng là 5

Ta có: a¹⁰⁰⁰ = ....5¹⁰⁰⁰ = ....5^125.8 = (.....5⁸)¹²⁵ = 390625¹²⁵ = .....625 (Ta có số nào có 3 chữ số tận cung là 625 thì mũ bao nhiêu lên thì tận cùng vẫn là 625)

Trường hợp 3: Khi a không chia hết cho 2 và không chia hết cho 5: tức a chẵn, tận cùng khác 0.

Nhận xét: Nếu một số tự nhiên không chia hết cho 5 thì n¹⁰⁰ $\equiv$ 1 (mod 125). Chứng minh dễ, bạn đọc tự chứng minh.

Trở lại đề bài, ta có: a¹⁰⁰ = BS 125 + 1, mà a¹⁰⁰ là số chẵn nên ba chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 126, 376, 626, 876.

Hiển nhiên a¹⁰⁰ chia hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó phải chia hết cho 8. Trong bốn số đó chỉ có 376 là chia hết cho 8.

Nhờ đó ta có ba chữ số tận cùng của a¹⁰⁰là 376

Suy ra a¹⁰⁰⁰ = (a¹⁰⁰)¹⁰ = ......376¹⁰ = 376 (Ta có số nào có 3 chữ số tận cung là 376 thì mũ bao nhiêu lên thì tận cùng vẫn là 376)

Vậy ba chữ số tận cùng của a¹⁰⁰⁰là 376

Trường hợp 4: Khi a không chia hết cho 2 và không chia hết cho 5: tức a lẻ, tận cùng khác 5.

Nhận xét: Nếu một số tự nhiên không chia hết cho 5 thì n¹⁰⁰ $\equiv$ 1 (mod 125). Chứng minh dễ, bạn đọc tự chứng minh. Ở đây do có thêm điều kiện n tận cùng bằng 1, 3, 7, 9 nên suy raa⁴có tận cùng bằng 1.

Suy ra a¹⁰⁰ = (a⁴)²⁵ = (10k + 1)²⁵ = BS 1000 + $\dfrac{{25.24}}{2}$ (10k)² + 25.10k + 1 = BS 125 + 1 (1)