$a^3b^3c^3$ chia hết cho 9

   $\Rightarrow (abc)^3$ chia hết cho 9

Mà a, b, c là các số nguyên nên $abc$ chia hết cho 9

Mà chia hết cho 9 cũng chia hết cho 3

Vậy abc chia hết cho 3 (đpcm)

$\begin{array}{l}
{a^3}{b^3}{c^3} \vdots 9\\
 <  =  > 3{a^3}{b^3}{c^3} \vdots 27\\
 <  =  > \sqrt[3]{3}abc \vdots 3
\end{array}$

Ta lại có a,b,c là các số nguyên

Mà $\sqrt[3]{3}$ không chia hết cho 3

$ =  > abc \vdots 3$

giả sử a, b, c đều không chia hết cho 3 
a³+b³+c³ - 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) 
<=> a³+b³+c³ - 3abc = (a+b+c)[a(a-b) + b(b-c) + c(c-a)] (*) 
do a, b, c không chia hết cho 3 nên chia 3 có số dư là -1 hoặc 1 
vậy có ít nhất 2 số có cùng số dư 
* nếu a, b, c chia 3 có cùng số dư (là 1 hoặc -1) 
=> a+b+c chia hết cho 3, (a-b), (b-c), (c-a) chia hết cho 3 
=> (a+b+c)[a(a-b) + b(b-c) + c(c-a)] chia hết cho 9 
thấy 3abc chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 
do đó từ (*) ta phải có a³+b³+c³ không chia hết cho 9 

* nếu có đúng 2 số có cùng số dư khi chia cho 3, giả sử a và b có cùng số dư khi chia cho 3 
=> b+c chia hết cho 3 (vì b và c có số dư là -1 và 1 hoặc ngược lại) 
=> a+b+c không chia hết cho 3 
(a-b) chia hết cho 3 => a(a-b) chia hết cho 3 
b² và c² chia 3 đều dư 1 
-bc và -ac chia 3 đều dư 1 
=> b(b-c) + c(c-a) = b²+c² - bc - ca chia 3 dư 1 
=> (a+b+c)[a(a-b) + b(b-c) + c(c-a)] không chia hết cho 3 
mà 3abc chia hết cho 3 nên từ (*) => a³+b³+c³ không chia hết cho 3 
=> a³+b³+c³ không chia hết cho 9 
tóm lại trong mọi trường hợp của phản chứng đều => a³+b³+c³ không chia hết cho 9 
mâu thuẩn với giả thiết 
=> đpcm 
tôi không được tập trung lắm, nên không tìm cách giải ngắn gọn hơn, tạm chấp nhận thế nhé 
không ngờ gởi sau nhiều người thế nhỉ, nhưng theo tôi thì các bạn ở trên đều chưa chính xác 
* bạn Songokudo thì chơi ăn gian, chứ xét từng trường hợp khai triển hết mấy cái đó thì quá dài 
* bạn Tung: lời giải khá đẹp nhưng ko chuẩn, vì không thể gom hết là đều khác 27x 
mà nên là a³ # 27x, b³ # 27y, c³ # 27z 
=> a³+b³+c³ # 27(x+y+z) dù có thế này thì cũng ko thể kết luận là a³+b³+c³ không chia hết cho 9 
(làm gì có chuyện 1 số # 27k thì không chia hết cho 9 chứ) 
* bạn nguyennhuminh: xét thiếu quá nhiều 
không chia hết cho 3 thì dư là -1 hoặc 1, chỉ thiếu có -1 nhưng khi phối hợp lại thì còn nhiều khã năng 
hơn nữa đâu thể cùng là k được chứ 

Nguyễn Minh Quân: 21:05 15/08/2016

giả sử a, b, c đều không chia hết cho 3 
a³+b³+c³ - 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) 
<=> a³+b³+c³ - 3abc = (a+b+c)[a(a-b) + b(b-c) + c(c-a)] (*) 
do a, b, c không chia hết cho 3 nên chia 3 có số dư là -1 hoặc 1 
vậy có ít nhất 2 số có cùng số dư 
* nếu a, b, c chia 3 có cùng số dư (là 1 hoặc -1) 
..........................................

rõ ràng là copy rồi nhé !