3. Ta có 11ⁿ⁺² + 12²ⁿ⁺¹ = 121.11ⁿ + 12.144ⁿ

                                   = (133-12).11ⁿ + 12.144ⁿ

                                   = 133.11ⁿ + (144ⁿ - 11ⁿ).12

Ta có 133.11ⁿ chia hết cho 133; 144ⁿ - 11ⁿ chia hết cho (144-11) (tức là 133)

Vậy 11ⁿ⁺² + 12²ⁿ⁺¹ chia hết cho 133.

2. Ta có: C = 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰

                 = 2(1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴) + 2⁶(1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴) + ... + 2⁹⁶(1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴)

                 = 2.31 + 2⁶.31 + ...+ 2⁹⁶.31

                 =31(2 + 2⁶ + ... + 2⁹⁶) chia hết cho 31

Vậy C chia hết cho 31.

1. Ta nhận thấy, vị trí của các chữ số thay thế ba dấu sao trong số trên đều hàng chẵn và vì ba chữ số đó đôi một khác nhau, lấy từ tập hợp {1;2;3} nên tổng của chúng luôn bằng 1+2+3=6.

Mặt khác 396 = 4.9.11 trong đó 4;9;11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta cần chứng minh A = 155*710*4*16 chia hết cho 4;9 và 11.

Thật vậy:

+ A chia hết cho 4 vì số tạo bởi hai chữ số tận cùng của A là 16 chia hết cho 4.

+ A chia hết cho 9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9:

1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*) = 30+6 = 36 chia hết cho 9

+ A chia hết cho 11 vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là 0, chia hết cho 11:

{ [ 5+7+4+1 ] - [ 5+1+6+(*+*+*) ] } = 18-12-6 = 0 chia hết cho 11

Vậy A chia hết cho 396.