1. Máy tính bỏ túi Việt Nam
  2. Đơn thức, đa thức - sơ đồ Hocner
  3. Đa thức một biến

Tính f(9999) biết f(1) = 1 và f(n+m) = f(m) + f(n) + mn


0

1

Xin được chia sẻ với các bạn một bài toán đẹp sau, cũng rất thường ra trong kì thi HSG giải toán trên MTCT:

Cho hàm y = f(x) thoả:

$\left\{ \begin{array}{l}
 f(1) = 1 \\ 
 f(m + n) = f(m) + f(n) + m.n \\ 
 \end{array} \right.$ với m, n là các số nguyên dương

Hãy tính $f(9999)$

Bài này được trích trong sách: " Tổng hợp các dạng toán thi HSG trên MT khoa học" của PGS- TS Tạ Duy Phượng- Viện Toán học Việt Nam

Nhưng không có lời giải, tôi đã tìm ra lời giải, còn các bạn thì sao ?

3 trả lời:

2

Em thử cách này không biết phải không mong thầy giúp đỡ!

   Ta có : $f(m+n)=f(m)+f(n)+m.n$

   $\Rightarrow f(9999)=f(1)+f(9998)+9998$

   $f(9998)=f(1)+f(9997)+9997$

     ....................

   $\Rightarrow f(2)=f(1)+f(1)+1$

   $\Rightarrow f(9999)=9999f(1)+(1+2+3+4+...+9998)$

   $f(9999)=9999+49985001=49995000$

#1: ngày 21/08/2016
616

Thêm bình luận

0
Theo cá nhân mình thì cách giải đấy ko tổng quát Ta có f(1)=1 f(m+n)=f(m)+f(n)+mn với m,n nguyên dương Thay m=n=1 ta có f(2)= 2f(1)+1=3 Tương tự thay m=1 n=2 ta có f(3)=6 Từ các kết quả trên ta sẽ quy nạp để tìm được hàm f(x) =x(x+1)/2. Thật vậy giả sử f(x)=x(x+1)/2 đúng với x=k tức f(k)=k(k+1)/2 Cần chứng minh mệnh đề đúng với x=k+1 tức f(k+1)=(k+1)(k+2)/2 Thay m=1, n=k ta có f(k+1)=f(1)+f(k)+k Sử dụng giả thiết quy nạp và f(1)=1 ta có f(k+1)=k(k+1)/2+(k+1) =(k+1)(k/2+1) =(k+1)(k+2)/2 Quy nạp hoàn tất. Vậy ta có f(x) = x(x+1)/2 Thay vào ta có f(9999)=9999×10000/2=4999500
#2: khoảng 3 tháng

Thêm bình luận

0

P. Thịnh giải rất đúng

#3: ngày 21/08/2016
59

Thêm bình luận