Bài 1:

Bài giải:

Từ giả thiết ta có: $x=\dfrac{y-z}{1+yz}$.

Khi đó:

$P=\dfrac{2(1+yz)^{2}}{(y^{2}+1)(z^{2}+1)}-\dfrac{2}{y^{2}+1}-\dfrac{4z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\dfrac{3z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}$

$P=\dfrac{2z(2y+(y^{2}-1)z)}{(y^{2}+1)(z^{2}+1)}-\dfrac{4z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\dfrac{3z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}$

Do $\dfrac{2z(2y+(y^{2}-1)z)}{(y^{2}+1)(z^{2}+1)}=\dfrac{2z\sqrt{(2y+(y^{2}-1)z)^{2}}}{(y^{2}+1)(z^{2}+1)}\leq \dfrac{2z\sqrt{(4y^{2}+(y^{2}-1)^{2})(1+z^{2})}}{(y^{2}+1)(z^{2}+1)}=\dfrac{2z}{\sqrt{z^{2}+1}}$

Do đó:

$P\leq \dfrac{2z}{\sqrt{z^{2}+1}}-\dfrac{4z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\dfrac{3z}{\sqrt{z^{2}+1}}\left ( 1-\dfrac{z^{2}}{z^{2}+1} \right )$

$P=-3t^{3}+t$ với $\dfrac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}=t\in (0;1)$

Khảo sát hàm số trên ta thấy $maxP=\dfrac{2}{9}\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{2}}{2};y=\sqrt{2},z=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$