B3

Đặt S=$\sum \dfrac{a}{\sqrt[3]{a+2b}}$

P=$\sum a(a+2b)$

Áp dung BDT holder cho 4cặp số $\Rightarrow S^{3}P\geq (a+b+c+d)^{4}\Rightarrow S^{3}\geq \dfrac{(a+b+c+d)^{4}}{\sum a(a+2b)}= (a+b+c+d)^{2}= 1\Rightarrow S\geq 1$ (dpcm)

Cách khác:

$\sum \dfrac{a}{\sqrt[3]{a+2b}}\geq \dfrac{3a}{a+2b+2}\geq \dfrac{3(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)+2(a+b+c)}=1$

Cách khác:

Ta có $\sqrt[3]{1.1.(a+2b)}\leq \dfrac{a+2b+2}{3}$

$VT=\sum \dfrac{a^{2}}{\sqrt[3]{a+2b}}\geq \sum \dfrac{3a^{2}}{a+2b+2}=3(\sum \dfrac{a^{2}}{a^{2}+2ab+2a})\geq 3\dfrac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+2(a+b+c)}=3.\dfrac{1}{3}=1.$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}$

Bài 2:

Do $abc=1$ nên bất dẳng thức cần chứng minh có thể viết lại dưới dạng 

$\sum (2a^{2}+4-3a-\dfrac{3}{a})\geq 0$

Không mất tính tổng quát, giả sử $a=min{a,b,c}$. Dễ thấy $a\leq 1$ và $bc\geq 1$

Đặt $f(t)=2t^{2}+4-3t-\dfrac{3}{t}$ với $t>0$. Ta cần chứng minh $f(a)+f(b)+f$($c$)$\geq 0$

Trước hết ta sẽ chứng minh 

$f(b)+f$($c$)$\geq 2f(\sqrt{bc})$

$\Leftrightarrow 2b^{2}+2c^{2}-3b-3c-\dfrac{3}{b}-\dfrac{3}{c}\geq 4bc-6\sqrt{bc}-\dfrac{6}{\sqrt{bc}}$

$\Leftrightarrow 2(b-c)^{2}-3(\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2}-3(\dfrac{1}{\sqrt{b}}-\dfrac{1}{\sqrt{c}})\geq 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{b}-\sqrt{c})^{2}(2b+2c+4\sqrt{bc}-3a-3)\geq 0$

Do $2b+2c\geq 3a$ và $\sqrt{bc}\geq 1$ nên $(2b+2c+4\sqrt{bc}-3a-3)\geq 0$

Suy ra $f(b)+f$($c$)$\geq 2f(\sqrt{bc})$

Đặt $\sqrt{a}=x$ với $x\leq 1$, ta cần chứng minh 

$f(x^{2})+2f(\dfrac{1}{x})\geq 0$

$\Leftrightarrow (2x^{4}+4-3x^{2}-\dfrac{3}{x^{2}})+2(\dfrac{4}{x^{2}}+8-\dfrac{6}{x}-6x)\geq 0$

$\Leftrightarrow 2x^{6}-3x^{4}-6x^{3}+12x^{2}-6x+1\geq 0$

$\Leftrightarrow (x-1)^{2}(2x^{4}+4x^{3}+3x^{2}-4x+1)\geq 0$

Do $2x^{4}+4x^{3}+3x^{2}-4x+1=x^{2}(x+1)^{2}+(x^{2}+2x-1)^{2}\geq 0$

nên $(x-1)^{2}(2x^{4}+4x^{3}+3x^{2}-4x+1)\geq 0$

Vậy $f(a)+f(b)+f$($c$)$\geq 0$

dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Cách khác:

Bđt tương đương: $2(a+b+c)+12\geq 3(a+b+c)+7|(ab+bc+ac)$

đặt : $a+b+c=p,ab+bc+ca=q \Rightarrow p^{3}+9r\geq 4pq$ (Schur)

Nên: Ta chỉ cần chứng minh: $2P^{2}+12\geq 3P+7(\dfrac{p^{3}+9}{4p})\Leftrightarrow (p-3)(p^{2}-9p+21)\geq 0$

điều này luôn đúng vì p$\geq$3

$\dfrac{2}{a^{2}+1}+\dfrac{2}{b^{2}+1}+\dfrac{2}{c^{2}+1}\geq 3\Leftrightarrow \sum \dfrac{(1-a)(1+a)}{a^2+1}\geqslant 0$

$(a-2)^{2}+(b-2)^{2}+(c-2)^{2}-3=\sum (a-3)(a-1)$

Ta có :$\sum (a-3)(a-1)-\sum \dfrac{2(1-a)(1+a)}{a^2+1}=\sum \dfrac{(a-1)^4}{a^2+1}\geqslant 0$

           $\Leftrightarrow \sum (a-3)(a-1)\geqslant \sum \dfrac{2(1-a)(1+a)}{a^2+1}\geqslant 0$

           $\Leftrightarrow (a-2)^{2}+(b-2)^{2}+(c-2)^{2}\geq 3$