ABCDEF
Gọi E, F lần lượt là giao điểm của các đường thẳng song song với cạnh AB và AC
Đặt $\dfrac{{BD}}{{BC}} = x$ ; $\dfrac{{CD}}{{BC}} = y$
$ \Rightarrow x + y = \dfrac{{BD + DC}}{{BC}} = \dfrac{{BC}}{{BC}} = 1(1)$
Theo đề bài, ta có : $\dfrac{{{S_{AEDF}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{3}{8} \Rightarrow \dfrac{{{S_{BED}} + {S_{DCF}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{5}{8}$
Vì ED // AC nên : ${\Delta BDE}$ đồng dạng với ${\Delta BCA(g.g)}$
${ \Rightarrow \dfrac{{{S_{BDE}}}}{{{S_{ABC}}}} = {{(\dfrac{{BD}}{{BC}})}^2} = {x^2}}$
Vì DF // AB nên : ${\Delta CDF}$ đồng dạng với ${\Delta CBA(g.g)}$
${ \Rightarrow \dfrac{{{S_{CDF}}}}{{{S_{ABC}}}} = {{(\dfrac{{CD}}{{BC}})}^2} = {y^2}}$
Lại có : $\dfrac{{{S_{BED}} + {S_{DCF}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{5}{8} \Rightarrow {x^2} + {y^2} = \dfrac{5}{8}(2)$
Từ (1) và (2) ta có hệ : $\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 1\\
{x^2} + {y^2} = \dfrac{5}{8}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{1}{4}\\
y = \dfrac{3}{4}
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{3}{4}\\
y = \dfrac{1}{4}
\end{array} \right.
\end{array} \right.$
Vậy : $\dfrac{{BD}}{{BC}} = \dfrac{1}{4}$ hoặc $\dfrac{{BD}}{{BC}} = \dfrac{3}{4}$
