1. Máy tính bỏ túi Việt Nam
  2. Hệ phương trình, bất phương trình, Max - Min
  3. Bất phương trình

Giúp mình chứng minh các bất phương trình


0

0

Bài 1:Cho các số a,b,c không âm không đồng thời bằng không. Chứng minh rằng;

$\sum \dfrac{2a^{2}-bc}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq 3$

Bài 2:

Cho a,b,c là các số không âm không đồng thời bằng không.

CMR $\dfrac{\sum a^{2}}{\sum ab}\geq \sum \dfrac{ab}{b^{2}+bc+c^{2}}$

Bài 3: 

Cho a,b,c không âm thoả mãn: $a+b+c=3$

Chứng Minh: $\sum \dfrac{a+1}{ab+1}\geq 3$

Bài 4::Chứng minh bất đẳng thức sau với $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$:

$ \dfrac{a^2}{3a+1}+\dfrac{b^2}{3b+1}+\dfrac{c^2}{3c+1}\ge 24\left(\dfrac{a^2}{9a+1}+\dfrac{b^2}{9b+1}+\dfrac{c^2}{9c+1}\right)^2 $

Bài 5:Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn:

                             $\dfrac{2}{a^{2}+1}+\dfrac{2}{b^{2}+1}+\dfrac{2}{c^{2}+1}\geq 3$

Chứng minh rằng: $(a-2)^{2}+(b-2)^{2}+(c-2)^{2}\geq 3$

5 trả lời:

1

Bài 5:

 

Bài giải:

 

(Nguyen Huy Tuyen)$\dfrac{2}{a^{2}+1}+\dfrac{2}{b^{2}+1}+\dfrac{2}{c^{2}+1}\geq 3\Leftrightarrow \sum \dfrac{(1-a)(1+a)}{a^2+1}\geqslant 0$

$(a-2)^{2}+(b-2)^{2}+(c-2)^{2}-3=\sum (a-3)(a-1)$

Ta có :$\sum (a-3)(a-1)-\sum \dfrac{2(1-a)(1+a)}{a^2+1}=\sum \dfrac{(a-1)^4}{a^2+1}\geqslant 0$

           $\Leftrightarrow \sum (a-3)(a-1)\geqslant \sum \dfrac{2(1-a)(1+a)}{a^2+1}\geqslant 0$

           $\Leftrightarrow (a-2)^{2}+(b-2)^{2}+(c-2)^{2}\geq 3$

 
#1: ngày 03/08/2016
196

Thêm bình luận

0

Bài 4:

Bài giải: 

 

 
 
$\bullet\ AM-GM:\ \dfrac{a^2}{9a+1}= \dfrac{a^2}{6a+(3a+1)}\le \dfrac{a^2}{2\sqrt{6a(3a+1)}}= \dfrac{a\sqrt{a}}{2\sqrt{6(3a+1)}}$ ;
$\bullet\ Cauchy-Schwarz:\ VP\le \left( \dfrac{a\sqrt{a}}{\sqrt{3a+1}}+  \dfrac{b\sqrt{b}}{\sqrt{3b+1}}+  \dfrac{c\sqrt{c}}{\sqrt{3c+1}}\right)^2\le (a+b+c).VT=VT$

 

 

#2: ngày 03/08/2016
196

Thêm bình luận

0

Bài 3: 

 

Bài giải:

Áp dụng AM-GM cho vế trái, ta cần chứng minh :

$(a+1)(b+1)(c+1)\geq (ab+1)(bc+1)(ca+1)\Leftrightarrow abc+(ab+bc+ca)+(a+b+c)+1\geq a^{2}b^{2}c^{2}+abc(a+b+c)+(ab+bc+ca)+1\Leftrightarrow abc+4\geq a^{2}b^{2}c^{2}+3abc+1\Leftrightarrow a^{2}b^{2}c^{2}+2abc\leq 3$

Hiển nhiên đúng vì $abc\leq (\dfrac{a+b+c}{3})^{3}=1$

 

 

 

 

 

#3: ngày 03/08/2016
196

Thêm bình luận

0

Bài 1:

 

Lời giải:

 

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử $b$ là số nằm giữa $a$ và $c$

BĐT đã cho tương đương với

$\sum \dfrac{2a^2+(b-c)^2}{b^2-bc+c^2}\geq 6$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có

$\sum \dfrac{2a^2}{b^2-bc+c^2}\geq \dfrac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a^2(b^2-bc+c^2)}=\dfrac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{2\sum a^2b^2-abc\sum a}$

$\sum \dfrac{(b-c)^2}{b^2-bc+c^2}\geq \dfrac{[a(b-c)+b(a-c)+c(a-b)]^2}{2\sum a^2b^2-abc\sum a}=\dfrac{4b^2(a-c)^2}{2\sum a^2b^2-abc\sum a}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh

$(a^2+b^2+c^2)^2+2b^2(a-c)^2\geq 6\sum a^2b^2-3abc\sum a (1)$

Ta có 

$b^2(a-c)^2=[a(b-c)+c(a-b)]^2=a^2(b-c)^2+c^2(a-b)^2+2ac(a-b)(b-c)$

$\geq a^2(b-c)^2+c^2(a-b)^2$

Suy ra 

$2b^2(a-c)^2\geq a^2(b-c)^2+b^2(c-a)^2+c^2(a-b)^2$

$\Rightarrow VT (1)\geq (\sum a^2)^2+2\sum a^2b^2-2abc\sum a$

Do đó ta chỉ còn phải chứng minh 

$(\sum a^2)^2+2\sum a^2b^2-2abc\sum a\geq 6\sum a^2b^2-3abc\sum a$

$\Leftrightarrow \sum a^4+abc\sum a\geq 2\sum a^2b^2$

BĐT này hiển nhiên đúng theo BĐT Schur

$\sum a^4+abc\sum a\geq \sum ab(a^2+b^2)$

Và BĐT AM-GM

$\sum ab(a^2+b^2)\geq 2\sum a^2b^2$

Kết thúc chứng minh 

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $a=b$, $c=0$ và các hoán vị.

 

 

 

#4: ngày 03/08/2016
196

Thêm bình luận