Bài 2:

BĐT đã cho tương đương với

$\dfrac{a^2}{ab+bc+ca}-\dfrac{ab}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{b^2}{ab+bc+ca}-\dfrac{bc}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{c^2}{ab+bc+ca}-\dfrac{ca}{a^2+ab+b^2}\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum \dfrac{ac(ac-b^2)}{b^2+bc+c^2}\geq 0$

Do $\dfrac{ac(ac-b^2)}{b^2+bc+c^2}=\dfrac{ac^2(a+b+c)}{b^2+bc+c^2}-ac$ nên BĐT đã cho có thể viết lại thành

$\sum \dfrac{ac^2(a+b+c)}{b^2+bc+c^2}\geq ab+bc+ca$

$\Leftrightarrow \sum \dfrac{ac^2}{b^2+bc+c^2}\geq \dfrac{ab+bc+ca}{a+b+c}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có

$VT\geq \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{\sum a(b^2+bc+c^2)}=\dfrac{ab+bc+ca}{a+b+c}$

Kết thúc chứng minh