2 chữ số tận cùng là 99 nhé.
Ký hiệu $\left[ x \right]$ là phần nguyên của số $x$
Đặt ${S_n} = {\left( {\sqrt {29} + \sqrt {21} } \right)^n} + {\left( {\sqrt {29} + \sqrt {21} } \right)^n}$
Khi đó ta có: $S_{0}=2,S_{2}=100,S_{4}=9872,S_{6}=980800,...$
Ta sẽ chứng minh được ${S_{2n + 2}} = 100{S_{2n}} - 64{S_{2n - 2}} \equiv 36{S_{2n - 2}}(\bmod 100)$
Cho $n=74$ ta có: ${S_{150}} \equiv {6^2}{S_{146}}(\bmod 100) \equiv {6^4}{S_{142}}(\bmod 100) \equiv ... \equiv {6^{74}}{S_2}(\bmod 100) \equiv 0(\bmod 100)$
Ta có: $0 < \left( {\sqrt {29} - \sqrt {21} } \right) < 1 \Rightarrow 0 < {\left( {\sqrt {29} - \sqrt {21} } \right)^{150}} < 1$.
Mà ${\left( {\sqrt {29} - \sqrt {21} } \right)^{150}} + {\left( {\sqrt {29} + \sqrt {21} } \right)^{150}} = {S_{150}} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {29} + \sqrt {21} } \right)^{150}} = {S_{150}} - {\left( {\sqrt {29} - \sqrt {21} } \right)^{150}}$
Suy ra: ${S_{150}} - 1 < {\left( {\sqrt {29} + \sqrt {21} } \right)^{150}} < {S_{150}} \Rightarrow \left[ {{{\left( {\sqrt {29} + \sqrt {21} } \right)}^{150}}} \right] = {S_{150}} - 1 \equiv 99(\bmod 100)$ Do đó $\left[ {{{\left( {\sqrt {29} + \sqrt {21} } \right)}^{150}}} \right]$ có tận cùng là 99
