anh Toàn và em chung ước mơ!
Đề bài: Cho tam giác ABC, vẽ về phía ngoài tam giác ấy các tam giác đều ABE, ACF. Gọi I là trung điểm của BC, H là trực tâm của tam giác ABE. Tính các góc của tam giác FIH.
Giải
Đối với bài này ta phân thành 3 trường hợp:
- Trường hợp 1: $\widehat {BAC} > {90^0}$
Trên tia đối của tia IH lấy điểm K sao cho IH = IK nên $\Delta IBH = \Delta ICK(c.g.c)$
$ \Rightarrow CK = BH = HA$
Ta lại có: $\widehat {FAH} = {60^0} + {30^0} + \widehat A < {180^0}$
$\begin{array}{l}
\widehat {KCI} = \widehat {HCI} = \widehat B + {30^0}\\
\Rightarrow \widehat {FCK} = {360^0} - \left( {\widehat {KCI} + \widehat {ACB} + \widehat {ACF}} \right) = {360^0} - \left( {{{90}^0} + \widehat B + \widehat {ACB}} \right) = {90^0} + \widehat A = \widehat {FAH}.
\end{array}$
và AF = CF
Do đó $\Delta AHF = \Delta CKF(c.g.c) \Rightarrow FH = FK$
Do đó $\Delta FHK$ cân tại F.
Mặt khác, do hai tam giác AHF và CKF bằng nhau nên $\widehat {AFH} = \widehat {CFK}$ , mà $\widehat {AFC} = {60^0}$ nên $\widehat {HFK} = {60^0}$
Vậy tam giác FHK đều, ta có $\widehat {HIF} = {90^0},\widehat {IHF} = {60^0},\widehat {IFH} = {30^0}$
- Trường hợp 2: $\widehat {BAC} < {90^0}$
Ta thấy H, A, F thẳng hàng, E, H, I thẳng hàng và EI // AC, IF // AB (tự chứng minh)
Do đó EI vuông góc với IF suy ra tam giác HIF vuông
Vậy $\widehat {HIF} = {90^0},\widehat {IHF} = {60^0},\widehat {IFH} = {30^0}$
- Trường hợp 3: Tương tự với trường hợp 1, ta cũng có $\widehat {HIF} = {90^0},\widehat {IHF} = {60^0},\widehat {IFH} = {30^0}$
Vậy kết hợp cả 3 trường hợp ta có được số đo các góc của tam giác FIH