1. Máy tính bỏ túi Việt Nam
  2. Khu vực toán Casio sơ cấp (THCS - THPT)
  3. Hình học không gian

Bài toán thiết kế hộp sữa có diện tích toàn phần bé nhất


2

12

Khi sản xuất lon sữa bò hình trụ, các nhà sản xuất luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ hộp là ít nhất, tức là diện tích toàn phần hình trụ là nhỏ nhất. Em hãy tính diện tích toàn phần của lon sữa bò khi ta muốn có thể tích của lon là 500cm3 .
 

12 trả lời:

3

Ta có : Thể tích của lon sữa là: $V = \pi {R^2}h = 500(c{m^3})$ (R là bán kính đáy của lon sữa,h là chiều cao lon sữa)

=> $h = \dfrac{{500}}{{\pi {R^2}}}$

Mặt  khác: Diện tích toàn phần của lon sữa: ${S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh = 2\pi R(R + h)$

=> Diện tích toàn phần của lon sữa đạt giá trị nhỏ nhất <=> R(R+h) (*) đạt giá trị nhỏ nhất

Thay $h = \dfrac{{500}}{{\pi {R^2}}}$ vào (*) được: $\eqalign{
  & R\left( {R + h} \right) = R(R + \dfrac{{500}}{{\pi {R^2}}}) = {R^2} + \dfrac{{500}}{{\pi R}} = {R^2} + (\dfrac{{500}}{{2\pi R}} + \dfrac{{500}}{{2\pi R}}) \geqslant 3.\root 3 \of {{R^2}.\dfrac{{500}}{{2\pi R}}.\dfrac{{500}}{{2\pi R}}}  = 75.\root 3 \of {\dfrac{4}{{{\pi ^2}}}}   \cr 
  &  \cr} $ (áp dụng bất đẳng thức Cosi)

Do đó : Min R(R+h) = $75.\root 3 \of {\dfrac{4}{{{\pi ^2}}}} $ khi R=$5\root 3 \of {\dfrac{2}{\pi }} $ , h=$10\root 3 \of {\dfrac{2}{\pi }} $

Vậy : Diện tích toàn phần của lon sữa bò nhỏ nhất là $150\pi \root 3 \of {\dfrac{4}{{{\pi ^2}}}} $ khi R=$5\root 3 \of {\dfrac{2}{\pi }} $ ; h=$10\root 3 \of {\dfrac{2}{\pi }} $

#1: ngày 08/05/2016
56

Thêm bình luận

3

cách làm của Ngọc hay quá ;nhưng có cách nào ngắn gọn hơn ko

#2: ngày 22/03/2017
406

Thêm bình luận

2

@Nguyễn Phước Thịnh: 15:43 08/05/2016

@Ngô Đình Tứ: 11:49 08/05/2016

Bài của Ngọc khủng khiếp! Có ai đọc mà hiểu được không?

mik đoán bạn ngọc học cấp 3 nên mới giải như vậy

Cách bạn Ngọc là cách theo cấp 2 đó em. Bài này nếu cấp 3 sẽ giải bằng đạo hàm  smiley

#3: ngày 09/05/2016
145

Em cảm ơn BQT ạ » Quản Lý 1 0 ngày 07/03/2018

Thêm bình luận

1
Bạn Ngọc chắc cũng có thể Tham khảo trên Mạng mak(spam) ^_^
#4: ngày 07/03/2018
471

Thêm bình luận