Ta có : Thể tích của lon sữa là: $V = \pi {R^2}h = 500(c{m^3})$ (R là bán kính đáy của lon sữa,h là chiều cao lon sữa)
=> $h = \dfrac{{500}}{{\pi {R^2}}}$
Mặt khác: Diện tích toàn phần của lon sữa: ${S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh = 2\pi R(R + h)$
=> Diện tích toàn phần của lon sữa đạt giá trị nhỏ nhất <=> R(R+h) (*) đạt giá trị nhỏ nhất
Thay $h = \dfrac{{500}}{{\pi {R^2}}}$ vào (*) được: $\eqalign{
& R\left( {R + h} \right) = R(R + \dfrac{{500}}{{\pi {R^2}}}) = {R^2} + \dfrac{{500}}{{\pi R}} = {R^2} + (\dfrac{{500}}{{2\pi R}} + \dfrac{{500}}{{2\pi R}}) \geqslant 3.\root 3 \of {{R^2}.\dfrac{{500}}{{2\pi R}}.\dfrac{{500}}{{2\pi R}}} = 75.\root 3 \of {\dfrac{4}{{{\pi ^2}}}} \cr
& \cr} $ (áp dụng bất đẳng thức Cosi)
Do đó : Min R(R+h) = $75.\root 3 \of {\dfrac{4}{{{\pi ^2}}}} $ khi R=$5\root 3 \of {\dfrac{2}{\pi }} $ , h=$10\root 3 \of {\dfrac{2}{\pi }} $
Vậy : Diện tích toàn phần của lon sữa bò nhỏ nhất là $150\pi \root 3 \of {\dfrac{4}{{{\pi ^2}}}} $ khi R=$5\root 3 \of {\dfrac{2}{\pi }} $ ; h=$10\root 3 \of {\dfrac{2}{\pi }} $