@Hoàng Quốc Niên: 12:25 15/02/2016

Tìm chữ số tận cùng của tổng S=23+37+411+...+20168059 khi  viết S dưới dạng số thập phân.

Trích đề thi máy tính bỏ túi cấp tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm học 2015 - 2016

có 2 câu trả lời vậy bạn thử làm cách này tuy hơi lâu và dài nhưng chính xác:

ta có số tận cùng của từng số trong tổng lặp lại quy luật 1 8 7 4 5 6 3 2 9

với 1 là tận cùng của các số có hệ số tận cùng là 1( ví dụ 1,11,21,31....) và tưởng tự tới 9

=> cứ 10 số trong hàng có tận cùng là:1+8+7+4+5+6+3+2+9=45

vì tổng có 2016 số nên sẽ chia thành 201 tổng như trên và dử 6 số

=> số tận cùng của dãy là:45+1+8+7+4+5+6-1=35(vì tổng bắt đầu bằng hệ số 2 chứ không phải hệ số 1)

vậy tổng S có tận cùng là 5 

S= 1+2^3+3^7+4^11+...+2016^8059-1

Ta thấy các số luôn có chữ số tận cùng theo vòng chẵn (VD: Số 2 thì theo vòng 2,4,8,6,... ; số 3 thì theo vòng 3,9,7,1,... ; số 4 thì vòng 4,6,... các số 0,1,5,6 thì luôn có chữ số tận cùng là 0,1,5,6...) 

Lại có các số mũ luôn tăng dần theo 4 đon vị, suy ra những số cách nhau 10 đơn vị thì số mũ lại cách nhau 40 đơn vị nên những số đó có chữ số tận cùng giống nhau vì lặp lại theo vòng chẵn (VD: 2^3 thì có cùng chữ số tận cùng với 12^43 và 22^83,...)

Suy ra S có chu kì chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của 10 số đầu tiên : 1,8,7,4,5,6,9,2,9,0 (tính cả số 1)

Cộng những số đó lại với nhau được tổng 51

Từ số 1 đến 2016 có 201 chu kì như vậy và dư 6 số 1,8,7,4,5,6

Cho nên chữ số tận cùng của S là :51x201+1+8+7+4+5+6-1=10281 là chữ số 1.

chữ số tận cùng là 1 bởi vì ta thấy số mũ trên đều lẻ nên Số hạng tổng quát có dạng Un =n^{4n-5} với n >1. Dễ thấy Un đồng dư với n^3 (mod 10), Do đó S đồng dư với 2^3+3^3+4^3+...+2016^3 =(1^3+2^3+...+2016^3)-1 =[{(2016+1)2016/{2}]^2 -1