1. Máy tính bỏ túi Việt Nam
  2. Thảo luận vấn đề chung
  3. Khác

Đề thi vào lớp 10 chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai năm 2016-2017


0

0

Sở giáo dục và đào tạo Đồng Nai

Kì thi tuyển sinh vào lớp 10

Năm học 2016-2017

Môn thi: Toán Chuyên

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1. (1,5 điểm): Cho biểu thức $A=\dfrac{x}{x-4}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}$, với $x\geq 0,x\neq 4$.

   a) Rút gọn $A$

   b) Tìm $x$ để $A=\dfrac{5}{4}$

 

Câu 2. (1,5 điểm): Cho phương trình $x^2-mx+m-2=0$, trong đó $m$ là tham số.

   1) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$.

   2) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa $x_1-x_2=2\sqrt{5}$.

 

Câu 3. (2,0 điểm): Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa $a+b+c=3$.

   1) Chứng minh rằng: $ab+bc+ca\leq 3$.

   2) Chứng minh rằng: $a^2b+b^2c+c^2a\leq 4$.

 

Câu 4. (1,5 điểm) : Cho tam giác $ABC$ có bán kính đường tròn nội tiếp $r$ và độ dài các đường cao là $x,y,z$.

   1) Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{r}$.

   2) Cho biết $r=1$ và $x,y,z$ là các số nguyên dương. Chứng minh tam giác $ABC$ đều.

 

Câu 5. (3,5 điểm) Từ điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(\omega )$ tâm $O$, vẽ đến $(\omega )$ hai tiếp tuyến $MA,MB$ và cát tuyến $MCD$, $C$ nằm giữa $M$ và $D$. Gọi $H$ là giao điểm $MO$ và $AB$.

   1) Chứng minh: $MA^2=MC.MD$

   2) Chứng minh: Tứ giác $CDOH$ nội tiếp.

   3) Chứng minh: Đường thẳng $AB$ và hai tiếp tuyến của $(\omega )$ tại $C$ và $D$ đồng qui.

   4) Đường thẳng $CH$ cắt $(\omega )$ tại điểm thứ hai $E\neq C$. Chứng minh: $AB\parallel DE$

196
2 trả lời:

1

Câu 3.2:

Không giảm tính tổng quát giả sử: $a\geq b\geq c\geq 0$. Khi đó ta có: $c(c-b)(b-a)\geq 0\Leftrightarrow b^2c+c^2a\leq abc+c^2b\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\leq b(a^2+ac+c^2)\leq b(a+c)^2$

( do $a\geq b\geq c\geq 0$ )

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho $3$ số ta có:

$b(a+c)^2=\dfrac{4}{27}.27.b.\dfrac{a+c}{2}.\dfrac{a+c}{2}\leq \dfrac{4}{27}(b+2.\dfrac{a+c}{2})^3= \dfrac{4}{27}(a+b+c)^3=4$.

Vậy ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=2,b=1,c=0$.

#1: ngày 11/06/2016
196

Thêm bình luận

1
bạn tính thi vô chuyên Lương Thế Vinh ở Đồng Nai hả Hiếu
#2: ngày 09/01/2018
406

Thêm bình luận