Công thức : $1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2=\dfrac{n.(n+1).(2n+1)}{6}$
Mà : $2013^{2011} \equiv 37$ (mod 1000)
$\Rightarrow 1^2+2^2+3^2+4^2+...+\left(2013^{2011}\right)^2 \equiv 1^2+2^2+3^2+4^2+...+37^2$ (mod 1000)
Áp dụng công thức ở đầu ta được:
$1^2+2^2+3^2+4^2+...+37^2 \equiv \dfrac{37.38.(2.37+1)}{6} \equiv 575$
Vậy ba chữ số tận cùng của $1^2+2^2+3^2+4^2+...+\left(2013^{2011}\right)^2$ là 575.