Nhân chéo lên, ta phải so sánh:(20132014 +1)(20152016 +1) với (20142015 +1)(20142015 +1)
Khai triển ra: 20132014.20152016 + 20152016 + 20132014 +1 với 20142015.20142015 + 2.20142015 +1
Ta thấy: 20152016 + 20132014 = 2015.20152015 + 20132014 > 2.20142015
Suy ra ta chỉ cần so sánh 20132014.20152016 với 20142015.20142015
Tổng quát: So sánh XX+1.(X+2)X+3 với (X+1)X+2.(X+1)X+2 (với X là số tự nhiên khác 0)
Chia cả 2 bên cho (X+1)X+2.(X+2)X+3, ta được: XX+1/(X+1)X+2 với (X+1)X+2/(X+2)X+3
Ta có: XX+1/(X+1)X+2 = 1/(X+1) . [X/(X+1)]X+1
(X+1)X+2/(X+2)X+3 = 1/(X+1) . [(X+1)/(X+2)]X+3 = 1/(X+1) . [X/(X+1)]X+3 . [(X+1)/(X+2)]X+3
Ta thấy: 0 < X/(X+1) < 1 ⇒ [X/(X+1)]X+3 < [X/(X+1)]X+1
Và: 0 < [(X+1)/(X+2)] < 1 ⇒ [(X+1)/(X+2)]X+3 < 1
Suy ra: XX+1/(X+1)X+2 > (X+1)X+2/(X+2)X+3
⇒ XX+1.(X+2)X+3 > (X+1)X+2.(X+1)X+2
⇒ 20132014.20152016 > 20142015.20142015
⇒ Đpcm