Đề thi chuyên toán-tin, đhkhtn-đhqg hà nội 1994-1995
ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN-TIN, ĐHKHTN-ĐHQG HÀ NỘI 1994-1995
Thời gian:150 phút
Bài 1. Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}(x+y)(y+z)=4xy^2z & & & \\ (y+z)(z+x)=4yz^2x & & & \\ (z+x)(x+y)=4zx^2y & & & \end{matrix}\right.$
Bài 2. Giải phương trình nghiệm nguyên:
$12x^2+6xy+3y^2=28(x+y)$
Bài 3.
Xác định các giá trị nguyên dương $n$ ($n \geq3$) sao cho $A=n!$ chia hết cho $B=1+2+3+...+n$
Bài 4. Cho $a,b,c \geq1$. Chứng minh rằng
$\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\geq \dfrac{1}{1+\sqrt[4]{ab^3}}+\dfrac{1}{1+\sqrt[4]{bc^3}}+\dfrac{1}{1+\sqrt[4]{ca^3}}$
Bài 5.
Cho $\Delta ABC $ cân ở $A$
1.Chứng minh rằng nếu $\widehat{BAC}=20^{\circ}$ thì luôn tìm được các điểm $D,K$ trên các cạnh $AB,AC$ sao cho $AD=DK=KC=CB$
2. Ngược lại chứng minh rằng nếu tồn tại các điểm $D,K$ trên các cạnh $AC,AB$ sao cho $AD=DK=KC=CB$ thì $\widehat{BAC}=20^{\circ}$
