cung dc
Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên toán PTNK 2016-2017
Bài tương tự:
Bài 1:
a) Giải hệ $\left\{\begin{matrix} (x-2y)(x+my)=m^2-2m-3\\ (y-2x)(y+mx)=m^2-2m-3\end{matrix}\right.$ khi $m=-3$ và tìm $m$ để hệ có ít nhất một nghiệm $(x_0;y_0)$ thỏa $x_0>0,y_0>0$
b) Tìm $a\geqslant 1$ để phương trình $ax^2+(1-2a)x+1-a=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa $x_2^2-ax_1=a^2-a-1$
Bài 2: Cho $x,y$ nguyên dương và $xy\mid x^2+y^2+10$
a) Chứng minh $(x,y)=1$ và $x,y$ là hai số lẻ
b) Chứng minh $k=\dfrac{x^2+y^2+10}{xy}$ chia hết cho $4$ và $k\geqslant 12$
Bài 3: Cho $x\geqslant y\geqslant z,$ $x+y+z=0$ và $x^2+y^2+z^2=6$
a) Tính $S=(x-y)^2+(x-y)(y-z)+(z-x)^2$
b) Tìm $GTLN$ của $P=|(x-y)(y-z)(z-x)|$
Bài 4: Tam giác $ABC$ nhọn có $\widehat{BAC}>45^0$.Dựng các hình vuông $ABMN,ACPQ$ $(M,C$ khác phía đối với $AB,B$ và $Q$ khác phía đối với $AC)$. $AQ$ cắt đoạn $BM$ tại $E$ và $NA$ cắt đoạn $CP$ tại $F$
a) Chứng minh $\Delta ABE\sim \Delta ACF$ và tứ giác $EFQN$ nội tiếp
b) Chứng minh trung điểm $I$ của $EF$ là tâm đường tròn ngọai tiếp tan giác $ABC$
c) $MN$ cắt $PQ$ tại $D$, các đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMQ$ và $DNP$ cắt nhau tại $K$ $(K\neq D)$, các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiêp tam giác $ABC$ tại $B,C$ cắt nhau tại $J$.Chứng minh $D,A,K,J$ thẳng hàng
Bài 5: Với mỗi số nguyên dương $m>1$, kí hiệu $s(m)$ là ước nguyên dương lớn nhất của $m$ và khác $m$.Cho số tự nhiên $n>1$, đặt $n_0=n$ và lần lượt tính các số $n_1=n_0-s(n_0),n_2=n_1-s(n_1),...,n_{i+1}=n_i-s(n_i),...$ Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $k$ để $n_k=1$ và tính $k$ khi $n=2^{16}.14^{17}$
196 • • • •
5 trả lời:
Còn cách đơn giản hơn:
Đặt $a=x+y$ và $b=x-y$ $(a,b$ chẵn$)$
Từ giả thiết$=>\dfrac{a^2+10}{a^2-b^2}=\dfrac{k+2}{4}$
Đặt $d=(a^2+10,a^2-b^2)$
Dễ thấy $d=2$ hoặc $d=10$
Mặt khác do $4\mid k$:
Xét $k=4=>\dfrac{a^2+10}{a^2-b^2}=\dfrac{3}{2}$
$=>PT$ vô nghiệm
Xét $k=8=>\dfrac{a^2+10}{a^2-b^2}=\dfrac{5}{2}$
$=>PT$ vô nghiệm
Suy ra $k=4$ hoặc $k=8$ không thỏa mãn nên $k\geqslant 12$
#2: ngày 01/07/2016
196 • • • •
Thêm bình luận
Câu 2: Xét 2 số $x,y$ đều chẵn $\Rightarrow x^2+y^2+10\equiv 2 (mod 4)$ mà $xy\equiv 0(mod 4)$. Vậy$x,y$ không thể cùng chẵn
Xét 1 trong 2 số có 1 số chẵn, 1 số lẻ. Không mất tính tổng quát, giả sứ $x$ lẻ, $y$ chẵn $\Rightarrow x^2+y^2+10\equiv1(mod 2)$ mà $xy\equiv 0(mod 2)$. Vậy 1 trong 2 số không thể có 1 số chẵn và 1 số lẻ.
Vậy cả 2 số đều lẻ
Gọi $(x;y)=d\Rightarrow x=da;y=db\Rightarrow a^2d^2+b^2d^2+10=kabd^2\rightarrow 10\vdots d^2$ mà $d^2$ là số chính phương nên $d^2=1$
$\rightarrow d=1$. Vậy $x,y$ nguyên tố cùng nhau
#3: ngày 01/07/2016
196 • • • •
Thêm bình luận
bài 3
Cho $a, b, c$ là ba số thực và $t \ge 0 $ là một số cho trước thỏa mãn $a+b+c=0$ và $ a^2+b^2+c^2=6t^2$. Chứng minh rằng với mọi số thực $k$ ta luôn có bất đẳng thức sau
$|a^2b+b^2c+c^2a+kabc| \le 2t^3\sqrt{k^2-3k+9} $.
Chọn $k=\dfrac{3}{2}$ thì ta có bài toán trên.
#4: ngày 01/07/2016
196 • • • •
Thêm bình luận
