Đề thi học sinh giỏi toán lớp 11+12 vòng 1 năm học 2010
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 11+12 VÒNG 1 NĂM HỌC 2010
Ngày thi thứ hai
Câu 1. Giải hệ sau $\left\{\begin{matrix}x+3y=x^3-12\\-y+4z=y^3-6\\ 9z+2x=z^3+32\end{matrix}\right.$
Câu 2. Cho$ a$ là số nguyên dương có ít nhất một ước nguyên tố khác $2$ và $5$.CMR với $k$ là số dương bất kì, luôn tồn tại vô hạn $n$ thỏa mãn $S(n)>k.S(an)$ Trong đó $S(x)$ là hàm tổng các chữ số của $x$ nguyên dương.
Câu 3. Kí hiệu$ I$ là tâm nội tiếp$ ABC$. Đường thẳng vuông góc với $IA $ tại $A$ cắt $BI,CI$ tại $K,M$. Gọi $B',C'$ là giao điểm của $2$ cặp $(BI,AC),(CI,AB)$. Đường thẳng $B'C'$ cắt $(O)=(ABC)$ tại $N,E$. Chứng minh rằng bốn điểm $M,N,E,K$ thuôc cùng một đường tròn.
Câu 4. Một trò chơi được chơi bởi $2$ người rất giỏi bằng cách bẻ $1$ thanh gỗ có độ dài nguyên thành $2$ thanh gỗ có độ dài nguyên khác nhau. Trò chơi bất đầu với thanh có $\l =2010$. Hai bạn $A,B$ chơi lần lượt, $A$ đi trước. Trò chơi kết thúc nếu thanh gỗ có độ dài $1$ or $2$ ($k$ thể bẻ tiếp để thỏa mãn đề được nữa). Nếu kết thúc mà số thanh độ dài $1$ lớn hơn số thanh độ dài $2$ thì người đi bước cuối thắng, nếu ngược lại nhỏ hơn thì người đi bước cuối thua, nếu bằng thì hòa. Hãy xác định kết quả trò chơi ?
