Đặt A vào phép tính:

$\begin{array}{l}
A = \left[ {\sqrt 1 } \right] + \left[ {\sqrt 2 } \right] + \left[ {\sqrt 3 } \right] + \left[ {\sqrt 4 } \right] + ... + \left[ {\sqrt {212041} } \right]\\
 = \left( {\left[ {\sqrt 1 } \right] + \left[ {\sqrt 2 } \right] + \left[ {\sqrt 3 } \right]} \right) + \left( {\left[ {\sqrt 4 } \right] + ... + \left[ {\sqrt 8 } \right]} \right) + \\
\left( {\left[ {\sqrt 9 } \right] + ... + \left[ {\sqrt {15} } \right]} \right) + ... + \left( {\left[ {\sqrt {210681} } \right] + ... + \left[ {\sqrt {211599} } \right]} \right) + \\
\left( {\left[ {\sqrt {211600} } \right] + ... + \left[ {212041} \right]} \right)
\end{array}$

Theo cách chia nhóm như trên, nhóm 1 có 3 số, nhóm 2 có 5 số, nhóm 3 có 7 số, nhóm 4 có 9 số,..., nhóm 459 có 919 số,nhóm cuối cùng có 442 số. Các số thuộc nhóm 1 bằng 1, các số thuộc nhóm 2 bằng 2,..., các số thuộc nhóm 459 bằng 459 và các số thuộc nhóm cuối cùng bằng 460.

Do đó :

$\begin{array}{l}
A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + ... + 459.919 + 442.460\\
 = 1.(1.2 + 1) + 2.(2.2 + 1) + 3.(3.2 + 1) + ... + 459.(459.2 + 1) + 203320\\
 = \left( {{{2.1}^2} + 1} \right) + \left( {{{2.2}^2} + 1} \right) + \left( {{{2.3}^2} + 1} \right) + ... + \left( {{{2.459}^2} + 1} \right) + 203320\\
 = 2.\left( {{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {{459}^2}} \right) + \left( {1 + 2 + 3 + ... + 459} \right) + 203320\\
 = 2.\dfrac{1}{6}.459.460.919 + 105570 + 203320 = 64988110
\end{array}$

Đáp số : 64988110