nếu a nguyên dương khác 1 => biểu thức ko nguyên: OK 
nếu a không nguyên thì a + 1/a là tổng của hai số hữu tỉ nên rất có thể cho ra 1 số nguyên, chưa thể vội kết luận chứ không phải là sai, có lẻ nên trình bày thêm chổ này: 
đăt: a + 1/a = k (với k nguyên) 
=> a² - ka + 1 = 0 (1) 
(1) phải có nghiệm a là số hữu tỉ, mà nghiệm hữu tỉ (nếu có) của (1) chỉ có thể là -1 hoặc 1 (cái này là vấn đề nghiệm hữu tỉ của 1 đa thức có hệ số nguyên) mà a > 0, nên phải có a = 1 
thử lại khi a = 1 => k = 2 từ đó mới suy được x = y 
còn muốn cm ở phần dưới thì lại phải đặt x = y = a/b... 
nếu thế thì trước sau gì cũng đặt như tôi giải bên dưới 
Chỉ vài ý kiến thêm, xem là một tranh luận về 1 bài toán, mà cũng bổ ích cho các bạn khác, chứ Hct ko có ý gì khác 
bạn trên giải đẹp nhưng chưa rõ chổ: x/y + y/x nguyên dương => x = y 
ở đoạn dưới: 
"Ta lại có x+y=2x nguyên dương nên x nguyên hoặc x=1/2 (*) " 
2x nguyên dương ngoài x nguyên và x = 1/2 còn nhiều số khác VD: x = 3/2, x = k/2 

" Mặt khác 1/x+1/y=2/x nguyên dương 
Do đó x là ước dương của 2 hoặc x=1/2 " 
ngoài x là ước của 2 còn rất nhiều bạn àh, VD: x = 1/k hoặc x = 2/k 
từ những cái lỏng lẻo đó thì không thể kết luận như bên dưới đc 
tôi thử trình bài cách này, cũng chỉ theo ý riêng có thể còn cách hay hơn 
x+y > 0 và 1/x + 1/y = (x+y)/xy > 0 => xy > 0 mà x+y > 0 => x > 0, y > 0 
đặt x = a/b ; y = c/d với a, b, c, d nguyên dương; (a,b) = 1 ; (c,d) = 1 
Có: 
x+y = a/b + c/d = (ad+bc)/bd = m 
1/x+1/y = b/a + d/c = (ad+bc)/ac = n ; với m, n nguyên dương 

=> { ad + bc = mbd (1*) 
---- { ad + bc = nac (2*) 

 (2*) => d + bc/a = nc => bc chia hết cho a 
mà a và b nguyên tố cùng nhau (hay kí hiệu là (a,b) = 1) nên c chia hết cho a (2*) => ad/c + b = na => ad chia hết cho c 
lại có (d,c) = 1 nên a chia hết cho c 
từ hai điều trên ta có a = c 
 (1*) => ad/b + c = md => ad chia hết cho b 
mà (a,b) = 1 nên d chia hết cho b 
 (1*) => a + bc/d = mb => bc chia hết cho d 
cũng có (c,d) = 1 nên b chia hết cho d 
từ 2 điều trên (b chia hết cho d và d chia hết cho b) => b = d 
từ đây ta có kết luận: x = a/b = c/d = y 
ta ghi lại giả thiết: 
x+y = 2x = 2(a/b) = m (1**) 
1/x + 1/y = 2/x = 2(b/a) = n (2**) 

lấy (1**) * (2**) => 4 = mn ; với m, n nguyên dương ta có các khã năng là: 
* m = n = 2 => 2x = 1 => x = 1 

* { m = 1 ; n = 4 => { 2x = 1 ; 2/x = 4 => x = 1/2 

* { m = 4 ; n = 1 => { 2x = 4 ; 2/x = 1 => x = 2 
nêu sai xin góp ý nha ^_^